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徐小湛的博客

高等数学课件、函数图形动画、数学软件应用

 
 
 

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等速螺线(阿基米德螺线)  

2009-08-03 21:09:37|  分类: 高等数学图形动画 |  标签: |举报 |字号 订阅

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      一个圆盘以角速度 w 作转动,有一只蚂蚁在圆盘上沿着经过圆心的直线以速度 v 向外爬行,则小虫的运动轨迹为一条等速螺线,也叫阿基米德螺线Archimedean spiral)。

      假设在时刻 t=0 时,小虫位于原点,则在时刻 t 时,小虫位于(x(t),y(t)),其中

x(t)=vt*cos(wt), y(t)=vt*sin(wt)

这就是等速螺线的参数方程。

      令圆盘的转角 wt=theta,则得到等速螺线的极坐标方程:

r(theta)=(v/w)*(theta)=a*(theta)

 其中a=v/w。

速螺线的极坐标方程:

等速螺线(阿基米德螺线) - Calculus - 高等数学

 

等速螺线(阿基米德螺线) - Calculus - 高等数学等速螺线(阿基米德螺线) - Calculus - 高等数学

 

with(plots):a:=1:
curve:=polarplot(a*theta,theta=0..2*Pi,thickness=3):
display(curve,scaling=constrained,tickmarks=[0,0]);

 

 

等速螺线(阿基米德螺线) - Calculus - 高等数学

with(plots):
r:=t->t:
K:=100:for i from 1 to K do ti:=i*6*Pi/K:
curve[i]:=polarplot(r(t),t=0..ti,thickness=3):
xian[i]:=plot([[0,0],[r(ti)*cos(ti),r(ti)*sin(ti)]],color=blue,thickness=3) od:
curve:=display(seq(curve[i],i=1..K),insequence=true):
xian:=display(seq(xian[i],i=1..K),insequence=true):
display(curve,xian,scaling=constrained,tickmarks=[6,6]); 

 

 

 

等速螺线(阿基米德螺线) - Calculus - 高等数学

with(plots):
r:=t->t:
K:=80:for i from 1 to K do ti:=i*10*Pi/K:
curve[i]:=polarplot(r(t),t=0..ti,thickness=3):
curve2[i]:=polarplot(-r(t),t=0..ti,thickness=3,color=blue) od:
curve:=display(seq(curve[i],i=1..K),insequence=true):
curve2:=display(seq(curve2[i],i=1..K),insequence=true):
display(curve,curve2,scaling=constrained,tickmarks=[6,6]);

 

等速螺线的应用

等速螺线可以用来把等速的圆周运动转化为等速的直线运动。

将0到Pi的两段等速螺线拼成一个“心形”的装置安放在一个圆盘上:等速螺线(阿基米德螺线) - Calculus - 高等数学

 

则当圆盘等速旋转时,“心形”装置则将等速的圆周运动转化为等速的直线运动:

 

等速螺线(阿基米德螺线) - Calculus - 高等数学

 

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