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答疑：如何比较两个无限集

2010-11-07 20:01:47| 分类：数学答疑辅导 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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徐老师，[0,1]和[0,10]明显是后者长，但是他们包含的点是一样多的么？很难理解，因为后者包含前者，能否理解为同样2个无穷大量，但是后面一个无穷大量是前者的高阶无穷大量呢？（2010.11.6）

答：有限集A的元素的个数一定多于它的任何真子集的元素的个数。

但是，这个结论对无限集不成立。两个无限集的元素的多少是通过双射（一一映射）来比较的。

如果两个无限集之间存在双射，则认为它们有相同多的元素（或者有相同的基数）。

映射 x->10x 是[0,1]到[0,10]的双射，所以这两个区间有相同多的数（或点）。

不能说因为后者包含前者，后者的元素一定多于前者。

事实上，区间[0,1]中的数与整个实数集中的数一样多。集合论、实变函数或离散数学中都会提到这一事实。

你知道吗：正整数与整数一样多，甚至与有理数一样多!

建议你看一下百度文库中的这个有关基数的课件：http://wenku.baidu.com/view/4c705142336c1eb91a375d06.html

2010.11.7

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