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调和级数发散到无穷大的速度有多慢？

2011-05-19 23:58:06| 分类：数学专题讲解 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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以下级数称为调和级数：

教材上证明了调和级数是发散级数，

也就是说，调和级数的各项加起来将是无穷大。

但是教材上没有提到调和级数发散到无穷大的速度有多慢。

下面来讨论这个问题

调和级数发散很慢 - Calculus - 高等数学

以上不等式说明调和级数发散到无穷大

调和级数发散很慢 - Calculus - 高等数学

以上不等式说明调和级数前n项之和小于 1+lnn

利用这个不等式就可以说明调和级数发散得很慢

调和级数发散很慢 - Calculus - 高等数学

以下内容来自：http://baike.baidu.com/view/1179291.htm

当n越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而，慢慢地——非常慢慢地——它的和将增大并超过任何一个有限值。调和级数的这种特性使一代又一代的数学家困惑并为之着迷。

下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数。这个级数的前1000项相加约为7.485；前100万项相加约为14.357；前10亿项相加约为21；前一万亿项相加约为28，等等。

更有学者估计过，为了使调和级数的和等于100，必须把10的43次方项加起来，如果我们试图在一个很长的纸带上写下这个级数，直到它的和超过100，即使每一项只占1mm长的纸带，也必须使用10的43次方mm长的纸带，这大约为10的25次方光年，但是宇宙已知尺寸估计只有10的12次方光年。

====================================================================================

说明：为了使调和级数的和等于100，必须把10的43次方项加起来。参考以下不等式：

调和级数发散到无穷大的速度有多慢？ - Calculus - 高等数学

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