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扭带

2011-06-12 09:30:22| 分类：高等数学图形动画 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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扭带 - calculus - 高等数学博客

用我在以前一篇博文中所讲的方法来作扭带（见这里）。

扭带 - calculus - 高等数学博客

以下是一些例子，以及用数学软件画的图形。

扭带 - calculus - 高等数学博客

作图的Mathematica程序（运行时，将中文说明删去）

a:=4;
r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0} （曲线的矢量方程）
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]] （曲线的单位副法矢）
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]] （曲线的单位主法矢）
h:=2;k:=1;p:=1; （h是带宽，k是直线的斜率，p控制直线的转速）
x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s; （绕曲线旋转的线段的参数方程）
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]]; （x轴的参数方程）
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]]; （y轴的参数方程）
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,3},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]]; （z轴的参数方程）
XYZ=Show[X,Y,Z]; （显示坐标轴）
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h/2,h/2},{t,0,2*Pi}, （扭带的参数方程）
Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->{4,2,3},AspectRatio->.8]; （画曲面的一些设置）
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All] （显示扭带及坐标轴）

扭带 - calculus - 高等数学博客

a:=2;
r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0}
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
h:=2;k:=0;p:=1/2;
x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h/2,h/2},{t,0,2*Pi},Boxed->False,
Axes->False,ViewPoint->{3,-2,3},AspectRatio->.8];
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]

扭带 - calculus - 高等数学博客

a:=2;
r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0}
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
h:=2;k:=0;p:=3/2;
x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h/2,h/2},{t,0,2*Pi},Boxed->False,
Axes->False,ViewPoint->{3,-2,3},AspectRatio->.8];
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]

扭带 - calculus - 高等数学博客

a:=2;
r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0}
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
h:=2;k:=0;p:=3;
x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h/2,h/2},{t,0,2*Pi},Boxed->False,
Axes->False,ViewPoint->{3,-2,3},AspectRatio->.8];
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]

扭带 - calculus - 高等数学博客

a:=2;
r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],a*t}
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
h:=2;k:=0;p:=2;
x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,20},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,0,h},{t,0,10},Boxed->False,
Axes->False,ViewPoint->{3,-2,3},AspectRatio->1.8];
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]

扭带 - calculus - 高等数学博客

a:=1;
r[t_]:={t,0,a*Cos[t]}
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
h:=1;k:=0;p:=1/4;
x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,10},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h,h},{t,-2,10},Boxed->False,Axes->False,
ViewPoint->{1,4,3},AspectRatio->.8];
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]

扭带 - calculus - 高等数学博客

a:=1;
r[t_]:={t*Cos[t],t*Sin[t],a*t}
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
h:=2;k:=0;p:=1;
x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,20},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h,h},{t,-2,10},Boxed->False,Axes->False,
ViewPoint->{4,2,3},AspectRatio->1.2];
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]

扭带 - calculus - 高等数学博客

a:=2;b:=4;
r[t_]:={a*Cos[t],b*Sin[t],0}
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
h:=2;k:=0;p:=2;
x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,0,h},{t,0,2*Pi},Boxed->False,Axes->False,
ViewPoint->{4,2,3},AspectRatio->0.8];
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]

扭带 - calculus - 高等数学博客

r[t_]:={t,t,t^2}
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
h:=1;k:=0;p:=1;
x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-1,6},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h,h},{t,-3,3},Boxed->False,Axes->False,
ViewPoint->{4,-2,3},AspectRatio->1.2];
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]

扭带 - calculus - 高等数学博客

r[t_]:={0,t,t^2/10000} （说明：本方法不适合直线（r 的二阶导数是零向量！），故在 z 坐标加一个很小的量 t^2/10000，得一近似直线。）
n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]
m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]
h:=1;k:=0;p:=1;
x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-1,1},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-5,5},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-1,1},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h,h},{t,-5,5},Boxed->False,Axes->False,
ViewPoint->{2,1,2},AspectRatio->1.2];
Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]

扭带 - calculus - 高等数学博客

扭带的应用

吊坠

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              blogAbstract:'  <P align=\"center\"\><IMG title=\"扭带 - calculus - 高等数学博客\" style=\"MARGIN: 0px 10px 0px 0px;\" alt=\"扭带 - calculus - 高等数学博客\" src=\"http://img.ph.126.net/aBR0BTngE5tv7hcUD2Xw8A==/2354256705208673032.png\"\></P\>  <P align=\"center\"\><IMG title=\"扭带 - calculus - 高等数学博客\" alt=\"扭带 - calculus - 高等数学博客\" src=\"http://img.ph.126.net/GX-3w9HXfL--M8FFDbeEjw==/2309783658888419542.gif\"\></P\>  <DIV\><STRONG\><FONT size=\"5\"\></FONT\></STRONG\> </DIV\>  <DIV\><STRONG\><FONT size=\"5\"\>      用我在以前一篇</FONT\><A href=\"http://xuxzmail.blog.163.com/blog/static/2513191620115984346927/?latestBlog\" target=\"_blank\"\><FONT color=\"#ff0000\" size=\"5\"\>博文</FONT\></A\><FONT size=\"5\"\>中</FONT\></STRONG\><STRONG\><FONT size=\"5\"\>所讲的方法来作扭带（见</FONT\></STRONG\></DIV\>',
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