徐小湛的博客

面积函数

在讲牛顿-莱布尼茨定理时，先要引入一个连续函数 f(x) 的积分上限函数：


这个积分上限函数的几何意义是曲线 y=f(x) 之下方（或曲线与 x 轴之间）的图形的面积。因此，我们可以把这个积分上限函数形象地称为“面积函数”。

图1是面积函数的动画

with(plots): a:=0.5:b:=3:c:=-0.2:d:=2:

f:=x->0.2*x*sin(3*x)+1:

F:=x->int(f(t),t=a..x):

quxian:=plot(f(x),x=a..b,view=[a-0.2..b+0.2,c..d],thickness=3):

K:=100:for i from 1 to K do xi:=a+(b-a)*i/K:

mianji[i]:=plot(f(x),x=a..xi,filled=true,view=[a..b,c..d],color=green):

mianjiquxian[i]:=plot(F(x),x=a..xi,view=[a..b,c..d],color=blue) od:

mianji:=display(seq(mianji[i],i=1..K),insequence=true):

mianjiquxian:=display(seq(mianjiquxian[i],i=1..K),insequence=true):

ta:=textplot([a-0.05,0,"a"],align=BELOW):

tb:=textplot([b+0.05,0,"b"],align=BELOW):

tx:=seq(textplot([a+(b-a)*i/K,-0.2,"x"],align=BELOW),i=1..K):

tx:=display(tx,insequence=true):

fx:=textplot([a+0.5,f(a+0.5)+0.1,"f(x)"],align=ABOVE):

Line:=seq(plot([[a+(b-a)*i/K,-0.2],[a+(b-a)*i/K,f(a+(b-a)*i/K)]],linestyle=2,color=black),i=1..K):

Line:=display(Line,insequence=true):

Ax:=seq(textplot([a+((b-a)*i/K)/2,f(a+((b-a)*i/K)/2)/2,"A(x)"]),i=1..K):

Ax:=display(Ax,insequence=true):

display(quxian,mianji,ta,tb,tx,Line,fx,Ax,tickmarks=[0,0]);

图2中蓝色曲线是面积函数的图形

with(plots):

a:=-1:b:=2:c:=0:d:=3.5:

f:=x->x*sin(x)+0.4:

F:=x->int(f(t),t=a..x):

quxian:=plot(f(x),x=a..b,view=[a..b,c..d],thickness=3):

K:=80:for i from 1 to K do xi:=a+(b-a)*i/K:

mianji[i]:=plot(f(x),x=a..xi,filled=true,view=[a..b,c..d],color=green):

mianjiquxian[i]:=plot(F(x),x=a..xi,view=[a..b,c..d],color=blue,thickness=3) od:

mianji:=display(seq(mianji[i],i=1..K),insequence=true):

mianjiquxian:=display(seq(mianjiquxian[i],i=1..K),insequence=true):

display(quxian,mianji,mianjiquxian,tickmarks=[0,0]);