积分变限函数
1. 什么是积分变限函数？
所谓“积分变限函数”就是用定积分定义的函数，其中自变量出现在积分的上限或下限。
在讲牛顿-莱布尼茨定理时，我们用定积分对一个连续函数 f(x) 函数，定义了一个这样的函数：
由于这个函数的自变量 x 在积分上限，我们称这样的函数为“积分上限函数”。在微积分里证明了：这个积分上限函数是 f(x) 的原函数，或者说，f(x) 是这个积分上限函数的导数。这个结论直接导致了微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式。
当然，变量也可能出现在积分下限，甚至上限和下限都可以含有自变量，我们把这类函数统称为“积分变限函数”。
积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或下限。因此，这种函数给人一种新鲜感、神秘感。一些同学甚至对这种函数形式感到很茫然。
2. 为什么函数要用定积分来表示？哪些函数要用积分来表示？
有的人觉得奇怪，为什么有的函数要表示成积分的形式？其实，并不是数学家们故弄玄虚，故意要把函数写成这种复杂的形式来为难我们，这实在是不得已而为之的事情。因为有很多函数（有不少还是重要的函数）没有办法写成我们喜欢的初等函数的形式（有限的形式），它们只能用这种积分的形式来表示。
例如，概率积分（也叫误差函数）
就是一个积分上限函数。由于数学家已经证明其被积函数 e^(-x^2) 的原函数不是初等函数，所以这个积分是“积不出”的 (我们不能用定积分的牛顿-莱布尼茨公式求出原函数，再代入上、下限)。所以这个函数就只能写成积分上限函数的形式。（当然，我们也可以将被积函数展开成幂级数，再逐项积分，然后代入上、下限。这样可以把这个积分上限函数表示成无穷级数的形式。见教材下册226页，例4）。
这种“积不出”的积分变限函数大量存在于很多学科领域。在数学中，我们把这种函数称为由积分定义的“特殊函数”（Special function）（其中包括伽马函数、贝塔函数、概率积分（误差函数）、正弦积分函数（余弦积分函数）等等）。这些函数的研究已经超出非数学专业本科生的学习范围。
3. 积分变限函数的有图形吗？图形怎么作出？
请问：你是否曾经亲眼看见过积分变限函数的图形？ 我想，绝大多数同学都会说：“没有！”（不管在教材上、还是在课堂上。） 有的同学可能会说：“它们还有图形？我怎么没有想过这个问题？”
是的，积分变限函数（跟其他形式的函数一样）是有图形的。由于积分上限函数一般不是初等函数，所以它们的图形很难画出。因为要作出积分变限函数的图形，你必须计算大量的定积分（还要用近似计算的方法）。这就是为什么微积分教材中有很多积分变限函数，但是我们却看不到这些函数的图形！在课堂上，老师也不可能在黑板上用粉笔画出它们的图形。
但是，如果利用先进的计算工具，这种情况就可以改变。今天，我们利用计算机和数学软件（例如Maple、Mathematica、Matlab），就不难作出积分变限函数的图形。因为对于计算机而言，计算大量的定积分是轻而易举的事情，我们只要用数学软件编出一个小小的程序，计算的事情由计算机去完成就可以了。
4. 一些积分变限函数的图形
下面就让我们来亲眼看一看利用数学软件Maple编程画出的一些积分变限函数的图形。这些图形使得积分变限函数不再神秘。
（1）正弦积分函数 (Sine integral function 或 Sine integral)（教材下册，227页，例5）
with(plots):
quxian:=plot(int(sin(t)/t,t=0.01..x),x=-40..40,thickness=3):
display(quxian,title="The sine integral function");
（2）误差函数（概率积分）(Error function)（教材下册，226页，例4）
with(plots):
quxian:=plot(int((2/sqrt(Pi))*exp(-t^2),t=0..x),x=-5..5,thickness=3):
display(quxian,title="The error function");
（3）费涅耳函数（Fresnel function）
with(plots):
quxian:=plot(int(sin(Pi*t^2/2),t=0..x),x=-5.5..5.5,thickness=3):
display(quxian,title="The Fresnel function");
如果不但积分上下限有自变量、被积函数也有自变量，则属于含参变量的积分（教材下册第九章，第五节）。这种函数更加复杂（已超出本科教学大纲）。但是用数学软件仍然能够作出它们的图形。
含参变量的积分1（教材下121页，例1）
with(plots):
quxian:=plot(int(sin(x*t)/t,t=x..x^2),x=-3..3,thickness=3):
display(quxian);
含参变量的积分2（教材下123页，题2）
with(plots):
quxian:=plot(int((t^2*sin(x)-t^3),t=sin(x)..cos(x)),x=-4..4,thickness=3):
display(quxian);
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