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徐小湛的博客

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积分变限函数  

2009-08-21 21:00:03|  分类: 高等数学图形动画 |  标签: |举报 |字号 订阅

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积分变限函数

1. 什么是积分变限函数?
所谓“积分变限函数”就是用定积分定义的函数,其中自变量出现在积分的上限或下限。

在讲牛顿-莱布尼茨定理时,我们用定积分对一个连续函数 f(x) 函数,定义了一个这样的函数:
积分变限函数 - Calculus - 高等数学由于这个函数的自变量 x 在积分上限,我们称这样的函数为“积分上限函数”。在微积分里证明了:这个积分上限函数是 f(x) 的原函数,或者说,f(x) 是这个积分上限函数的导数。这个结论直接导致了微积分基本定理:牛顿-莱布尼茨公式。

当然,变量也可能出现在积分下限,甚至上限和下限都可以含有自变量,我们把这类函数统称为“积分变限函数”。

积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先,它是由定积分来定义的;其次,这个函数的自变量出现在积分上限或下限。因此,这种函数给人一种新鲜感、神秘感。一些同学甚至对这种函数形式感到很茫然。

2. 为什么函数要用定积分来表示?哪些函数要用积分来表示?
有的人觉得奇怪,为什么有的函数要表示成积分的形式?其实,并不是数学家们故弄玄虚,故意要把函数写成这种复杂的形式来为难我们,这实在是不得已而为之的事情。因为有很多函数(有不少还是重要的函数)没有办法写成我们喜欢的初等函数的形式(有限的形式),它们只能用这种积分的形式来表示。

例如,概率积分(也叫误差函数)

积分变限函数 - Calculus - 高等数学

就是一个积分上限函数。由于数学家已经证明其被积函数 e^(-x^2)  的原函数不是初等函数,所以这个积分是“积不出”的 (我们不能用定积分的牛顿-莱布尼茨公式求出原函数,再代入上、下限)。所以这个函数就只能写成积分上限函数的形式。(当然,我们也可以将被积函数展开成幂级数,再逐项积分,然后代入上、下限。这样可以把这个积分上限函数表示成无穷级数的形式。见教材下册226页,例4)。

这种“积不出”的积分变限函数大量存在于很多学科领域。在数学中,我们把这种函数称为由积分定义的“特殊函数”(Special function)(其中包括伽马函数、贝塔函数、概率积分(误差函数)、正弦积分函数(余弦积分函数)等等)。这些函数的研究已经超出非数学专业本科生的学习范围。

3. 积分变限函数的有图形吗?图形怎么作出?
请问:你是否曾经亲眼看见过积分变限函数的图形? 我想,绝大多数同学都会说:“没有!”(不管在教材上、还是在课堂上。) 有的同学可能会说:“它们还有图形?我怎么没有想过这个问题?”

是的,积分变限函数(跟其他形式的函数一样)是有图形的。由于积分上限函数一般不是初等函数,所以它们的图形很难画出。因为要作出积分变限函数的图形,你必须计算大量的定积分(还要用近似计算的方法)。这就是为什么微积分教材中有很多积分变限函数,但是我们却看不到这些函数的图形!在课堂上,老师也不可能在黑板上用粉笔画出它们的图形。

但是,如果利用先进的计算工具,这种情况就可以改变。今天,我们利用计算机和数学软件(例如Maple、Mathematica、Matlab),就不难作出积分变限函数的图形。因为对于计算机而言,计算大量的定积分是轻而易举的事情,我们只要用数学软件编出一个小小的程序,计算的事情由计算机去完成就可以了。

4. 一些积分变限函数的图形
下面就让我们来亲眼看一看利用数学软件Maple编程画出的一些积分变限函数的图形。这些图形使得积分变限函数不再神秘。

(1)正弦积分函数 (Sine integral function 或 Sine integral)(教材下册,227页,例5)

积分变限函数 - Calculus - 高等数学


积分变限函数 - Calculus - 高等数学

with(plots):
quxian:=plot(int(sin(t)/t,t=0.01..x),x=-40..40,thickness=3):
display(quxian,title="The sine integral function");

 

(2)误差函数(概率积分)(Error function)(教材下册,226页,例4)

积分变限函数 - Calculus - 高等数学

 

积分变限函数 - Calculus - 高等数学
with(plots):
quxian:=plot(int((2/sqrt(Pi))*exp(-t^2),t=0..x),x=-5..5,thickness=3):
display(quxian,title="The error function");

 

(3)费涅耳函数(Fresnel function

积分变限函数 - Calculus - 高等数学

 

积分变限函数 - Calculus - 高等数学
with(plots):
quxian:=plot(int(sin(Pi*t^2/2),t=0..x),x=-5.5..5.5,thickness=3):
display(quxian,title="The Fresnel function");


       如果不但积分上下限有自变量、被积函数也有自变量,则属于含参变量的积分(教材下册第九章,第五节)。这种函数更加复杂(已超出本科教学大纲)。但是用数学软件仍然能够作出它们的图形。

 

含参变量的积分1(教材下121页,例1)

 

积分变限函数 - Calculus - 高等数学

积分变限函数 - Calculus - 高等数学
with(plots):
quxian:=plot(int(sin(x*t)/t,t=x..x^2),x=-3..3,thickness=3):
display(quxian);

 

含参变量的积分2(教材下123页,题2)

 

积分变限函数 - Calculus - 高等数学

积分变限函数 - Calculus - 高等数学
with(plots):
quxian:=plot(int((t^2*sin(x)-t^3),t=sin(x)..cos(x)),x=-4..4,thickness=3):
display(quxian);

 

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