黎曼和
求曲边梯形的面积是定积分的定义的一个引例。
我们用 n 个很窄的矩形的面积之和曲逼近曲边梯形的面积。这些矩形的面积之和称为定积分的黎曼和（Riemann sum）。
以下动画形象地演示了这个逼近过程（图1）：
with(plots):
f:=x->x^2/3:
a:=0:b:=2:
quxian:=plot(f(x),x=a..b,thickness=3):
K:=120:for n from 1 to K do
for i from 0 to n do xi:=a+i*(b-a)/n:
B[n,i]:=listplot([[xi,0],[xi+(b-a)/n,0],[xi+(b-a)/n,f(xi)],[xi,f(xi)],[xi,0]],color=brown,thickness=2) od:
A[n]:=display(seq(B[n,i],i=0..n-1)) od:
AA:=display(seq(A[ceil(n/4)],n=1..K),insequence=true):
display(quxian,AA,axes=normal,tickmarks=[4,3]);
可以用小区间左端点的函数值为高作矩形（leftbox）：
with(plots): with(student):
K:=50:
f:=x->x^2:
juxing:=k->[leftbox(f(x),x=0..1,k)]:
display(seq(juxing(k),k=1..K),insequence=true);
也可以用小区间右端点的函数值为高作矩形（rightbox）
with(plots): with(student):
K:=50:
f:=x->x^2:
juxing:=k->[rightbox(f(x),x=0..1,k)]:
display(seq(juxing(k),k=1..K),insequence=true);
还可以用小区间中点的函数值为高作矩形（middlebox）
with(plots): with(student):
K:=50:
f:=x->x^2:
juxing:=k->[middlebox(f(x),x=0..1,k)]:
display(seq(juxing(k),k=1..K),insequence=true);
with(plots): with(student):
K:=50:
f:=x->x^2:
juxing:=k->[leftbox(f(x),x=-1..1,k)]:
display(seq(juxing(k),k=1..K),insequence=true,tickmarks=[4,2]);
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