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两个直交圆柱面所围成的立体  

2009-08-04 23:11:02|  分类: 高等数学图形动画 |  标签: |举报 |字号 订阅

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两个底半径相同的直交圆柱面所围成的立体。

(同济大学《高等数学》(5版下册,85页,例4)

 

圆柱面 x^2+y^2=R^2 和 x^2+z^2=R^2 相交的图形:

两个直交圆柱面所围成的立体 - Calculus - 高等数学

 

两个直交圆柱面所围成的立体 - Calculus - 高等数学

 

with(plots): R:=1:
zhumian1:=plot3d([R*cos(t), R*sin(t), z], z=-R..R, t=0..2*Pi, color=yellow):
zhumian2:=plot3d([R*cos(t), y, R*sin(t)], y=-R..R, t=0..2*Pi, color=green):
display(zhumian1, zhumian2, scaling=constrained, orientation=[40,65]);

 

两个圆柱面所围成的立体图形:

两个直交圆柱面所围成的立体 - Calculus - 高等数学

1.  这个立体的体积是: (16/3)*R^3,其中R是圆柱的半径(见同济大学《高等数学》(5版下册),85页,例4)(见下面)。

2.  这个立体的表面积是: 16*R^2(见同济大学《高等数学》(5版下册),116页,3题)(见下面)。

3. 我国古代数学家刘徽把这个立体称为牟合方盖

           在《九章算术 开立圆术》注中,刘徽指出了球体积公式V=(9/16)*D^3 (D为球直径)的不精确性,并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。(详见:牟合方盖

         《九章算术》中曾认为,球体的外切圆柱体积与球体体积之比等于正方形与其内切圆面积之比,刘徽在他为《九章算术》作的注释中指出,原书的说法是不正确的,只有“牟合方盖”(垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积)与球体积之比,才正好等于正方形与其内切圆的面积之比。但刘徽没有给出“牟合方盖”的体积公式,所以也就得不出球体的体积公式。(详见:文章

两个直交圆柱面所围成的立体 - Calculus - 高等数学博客

 

  

两个直交圆柱面所围成的立体 - Calculus - 高等数学

with(plots):R:=1:
zhumian1:=plot3d([R*cos(t), R*sin(t), z], z=-R*sin(t)..R*sin(t), t=0..2*Pi, color=yellow):
zhumian2:=plot3d([R*cos(t), y, R*sin(t)], y=-R*sin(t)..R*sin(t), t=0..2*Pi, color=green):
display(zhumian1, zhumian2, scaling=constrained, orientation=[40,65]);

 

两个直交圆柱面所围成的立体 - Calculus - 高等数学

动画的MAPLE程序:
with(plots):R:=1:
K:=60:for i from 1 to K do ti:=i*180/K:
zhumian1[i]:=plot3d([R*cos(t),R*sin(t),z],t=0..2*Pi,z=-R*sin(t)..R*sin(t),color=yellow,orientation=[ti,2*ti]):
zhumian2[i]:=plot3d([R*cos(t),y,R*sin(t)],t=0..2*Pi,y=-R*sin(t)..R*sin(t),color=green,orientation=[ti,2*ti]):
p[i]:=display(zhumian1[i],zhumian2[i]) od:
display([seq(p[i],i=1..K)],insequence=true);

 

 

               体积的推导同济大学《高等数学》(5版下册),85页,例4)
 

两个直交圆柱面所围成的立体 - Calculus - 高等数学博客

 

两个直交圆柱面所围成的立体 - Calculus - 高等数学博客

 
        表面积的推导同济大学《高等数学》(5版下册),116页,3题)

两个直交圆柱面所围成的立体 - Calculus - 高等数学博客

 
 
Updates:  18Jun2010,  30May2011

 

 

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