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徐小湛的博客

高等数学课件、函数图形动画、数学软件应用

 
 
 

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导数与切线的图形  

2009-09-06 21:43:05|  分类: 高等数学图形动画 |  标签: |举报 |字号 订阅

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导数与切线

       函数 y=f(x) 在一点 x=x0 处的导数 f'(x0) 的几何意义就是曲线 y=f(x) 在点 (x0,f(x0)) 处的切线的斜率。
“斜率”就是倾斜程度,它反映是曲线 y=f(x) 在一点的倾斜程度。

      有的同学很会计算导数,但是如果你问他们什么是导数、导数反映的是什么量,很多同学未必说得清楚。这说明我们有很多同学只是学会了计算导数的方法,但是对导数的几何意义和图形不是很了解。
      国外的微积分教材比较注意培养让学生从各个方面去了解导数,他们的教材中有这样的例子和习题:给出函数 y=f(x) 的曲线,让学生去选择几个曲线中哪一条是导数 y=f'(x) 的曲线。我国的教材在这方面(由于教材篇幅所限)缺少这方面的内容。近几年的研究生入学考试题中也有这方面的考题。

     高等数学的教师在制作课件时,可以适当增加这些内容,使学生不但能计算导数,也能看见导数的图形。特别是看看导数是如何随着原函数而变化的。

     以下是一些函数及其导数的图形,以及曲线的切线。

1. y=sin(x) 及其导数的图形 (函数曲线(红色)、导数曲线(蓝色)).

导数与切线的图形 - Calculus - 高等数学


with(plots):
f:=x->sin(x):
tuxing:=plot([f(x),D(f)(x)],x=-5..10,y=-1.1..1.1,thickness=[3,3],color=[red,blue]):
display(tuxing,scaling=constrained,tickmarks=[6,3]);

y=sin(x) 的切线(动画)(从中可以看到到:导数是切线的斜率。)

导数与切线的图形 - Calculus - 高等数学
with(plots):
f:=x->sin(x):
a:=-1:b:=10:
quxian:=plot(f(x),x=a..b,thickness=3): daoshuquxian:=plot(D(f)(x),x=a..b,color=blue,thickness=3,linestyle=2):
K:=100:for i from 1 to K do xi:=i*(b-a)/K:
zhixian[i]:=plot([[xi,f(xi)],[xi,D(f)(xi)]],color=black,linestyle=2,thickness=3):
qiexian[i]:=plot([x,f(xi)+(x-xi)*((f(xi+0.1)-f(xi-0.1))/0.2),x=xi-0.7..xi+0.7],color=blue,thickness=3) od :
zhixian:=display(seq(zhixian[i],i=1..K),insequence=true):
qiexian:=display(seq(qiexian[i],i=1..K),insequence=true):
display(qiexian,quxian,daoshuquxian,zhixian,scaling=constrained,tickmarks=[0,0],title='tangent_of_sinx');

 


2. y=x^2sin(x) 及其导数的图形 (函数曲线(红色)、导数曲线(蓝色)).

导数与切线的图形 - Calculus - 高等数学
with(plots):
f:=x->x^2*sin(x):
tuxing:=plot([f(x),D(f)(x)],x=-4..4,y=-5..5,thickness=[3,3],color=[red,blue]):
display(tuxing,scaling=constrained);

 


3. y=x-x^3 及其导数的图形 (函数曲线(红色)、导数曲线(蓝色)).

导数与切线的图形 - Calculus - 高等数学

with(plots):
f:=x->x-x^3:
tuxing:=plot([f(x),D(f)(x)],x=-2..2.3,y=-5..5,thickness=[3,3],color=[red,blue]):
display(tuxing,scaling=constrained);


4. y=arctan(x) 及其导数的图形 (函数曲线(红色)、导数曲线(蓝色)).

导数与切线的图形 - Calculus - 高等数学

 with(plots):
f:=x->arctan(x):
tuxing:=plot([f(x),D(f)(x)],x=-5..5,y=-2..2,thickness=[3,3],color=[red,blue]):
display(tuxing,scaling=constrained);

 

5. 导数与切线(动画)

导数与切线的图形 - Calculus - 高等数学


with(plots):  f:=x->0.5*x+cos(x)-sin(1.15*x)+2:
curve:=plot(f(x),x=0..25):
K:=100:for i from 1 to K do xi:=i*25/K:
tangent[i]:=plot(f(xi)+D(f)(xi)*(x-xi),x=xi-1.5..xi+1.5,color=blue):
daoshu[i]:=plot([x,D(f)(x),x=0..xi],color=blue):
zhixian[i]:=plot([[xi,-1],[xi,f(xi)]],color=black,linestyle=2,thickness=3): od:
tangent:=display(seq(tangent[i],i=1..K),insequence=true):
daoshu:=display(seq(daoshu[i],i=1..K),insequence=true):
zhixian:=display(seq(zhixian[i],i=1..K),insequence=true):
display(tangent,curve,daoshu,zhixian,scaling=constrained,tickmarks=[0,0],title="tangent and derivative", thickness=3);

 

 

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